SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL TH. 2011 - 2012

===========================================================
Mata Kuliyah           : KALKULUS 1                                   Sifat           : Tutup Buku
Jam                              : 07.30 - 09.10 WIB                         Waktu       : 100 Menit
Hari / Tanggal        : Jum'at / 13 Jan 2011                                             
Kelompok                 :- A11-4101                                           Dosen       : Tim Dosen Pengampu
                                        - A11-4103 s/d A11-4112
                                        - A11-4116 s/d A11-4118
===========================================================

1. Tentukan Nilai Maksimum dari Fungsi f(x)= (2 + x² )(2x +1)^-1?
     Jawab :
     Cari Titik kritisnya :
     a. Turunkan fungsi f(x) menjadi f '(x)= 0, dengan rumus turunan :
         * f '(x) = (u'v - uv').v^-2
           Jadi misal : u = 2 + x²      &       v = 2x +1
                                 u' = 2x                    v' = 2


     b. Substitusikan ke rumus turunannya :
            f '(x) = (u'v - uv').v^-2
            f '(x) = (2x(2x+1) - (2 + x² )2) (2x +1)^-2
            f '(x) = (2x + 4x²-4 - 2x²) (2x +1)^-2
            f '(x) = 2 (x + 2) (x - 1) (2x +1)^-2

     c. Cari nilai x penghasil f '(x)= 0.
        f '(x) = 2 (x + 2) (x - 1) (2x +1)^-2
              x = -2 || x = 1 || x = -1/2

     d. Substitusikan nilai x ke fungsi f(x) dan cari nilai Minimum dan Maximumnya.
        x = -2, 
           f (-2) = (2 + (-2)² )(2(-2) +1)^-1 
                     =  (2 + 4)/-3 = -2
        x = 1,
           f (1) = (2 + (1)² )(2(1) +1)^-1 
                   =  (2 + 1)/3 = 1
        x = -1/2, 
           f (-1/2) = (2 + (-1/2)² )(2(-1/2) +1)^-1 
                          =  (2 + 4)/0 =0
        Jadi, 
              * Nilai Maksimum : 1   pada x = 1
              * Nilai Minimum    : -2 pada x = -2

2. Diketahui fungsi  f(x)= x⁴ - 4x³ + 4x² + 2

    Tentukan :

    a. Titik Stasioner atau Titik Kritisnya

    b. Interval dimana f(x) NAIK dan interval dimana f(x) TURUN

    c. Gambarkan Sketsa Grafiknya 
    Jawab :
       a. Titik Stasioner dan Titik Kritis.
          1. Turunkan fungsi f(x) menjadi f '(x)= 0, dengan rumus turunan.

          2. Cari nilai x dari f '(x)

              f '(x) = 4x³ + 12x² + 8x = 4x(x²- 3x + 2)

              4x(x - 1)(x -2) = 0

              x = 0 || x = 1 || x = 2

              Titik kritisnya : 0, 1, 2

          3. Substitusikan nilai x ke f(x)

             x = 0,

                    f(0)= (0)⁴ - 4.(0)³ + 4.(0)² + 2 = 2

             x =1,

                    f(1)= (1)⁴ - 4(1)³ + 4(1)² + 2  = 3

             x = 2,

                   f(2)= (2)⁴ - 4(2)³ + 4(2)² + 2  = 2

            Titik Stasioner : [2,2] 

      b. Interval f(x) Naik da Turun.

          Titik kritis : 0, 1, 2

                                                -            +             -             +

                                           ______|_______|_______|_______

                                                      0             1             2

          1. Naik f '(x) > 0 

              Intervalnya adalah (1 > x > 0 dan x > 2)

          2. Turun f '(x) < 0 

              Intervalnya adalah ( x < 0 dan 1< x <2)
     c. Grafik
                    3 |      *
                        |           
                    2 | *         *
                        |
                  - 1 |   +    -     +
         _____|___,___,________
                       |0    1     2
                       |

                                             

3. Pak Tani punya rencana akan beternak itik, menurut aturan 1 m² luas kandang harus
    ditempati 50 ekor itik, pak Tani mempunyai kawat yang bisa dibuat kandang itik
    panjangnya 30 meter, dibelakang rumah pak Tani ada tembok, kandang itik yang
    akan dibuat bentuknya segiempat, salah satu sisi kandang adalah tembok dan
    ketiga sisi yang lain adalah kawat, Anda sebagai mahasiswa Udinus yang sudah belajar
    kalkulus, coba beri solusi berapa ukuran kandang yang harus dibuat pak Tani agar
    dapat memuat itik semaksimal mungkin dan berapa ekor itik yang harus 
    dibeli pak tani?
    Jawab :
                            tembok
                         _________
                        |                      |                 *  inisialisasi  :
       kawatX  |                       |    kawatX              kawatX = x
                        | ________|                                 kawatY = y

                           kawatY
 
    Jadi :
              2x + y = 30 ,  y = 30 - 2x
    L = x . y
       = x . (30 - 2x)
       = 30x - 2x² 
         
     L ' = 0
     L ' = 30 - 4x
      x = 30/4 ,
      y = 30 - 2x
      y = 30 - 2(30/4)
      y = 30 - 15 = 15

    L maks = x . y                         Jumlah Itik = Lmaks x 50
             = 30/4 x 15                                  = 112,5 x 50
             =7,5 x 15                                       = 5625 ekor itik
             =112,5 m²

4. Tentukan :
     a. Integral dari (x+2)(x³-5x²+4x)^-1dx
     b. Integral dari (4x+8)(x²+4x) dx dengan interval [0,1]?

5. Tentukan Luas yang dibatasi oleh fungsi :

      
                         1- x²    jika 0<= x <= 2
       f(x)= -3  jika 2 <= x <=3
               6-x   jika 3 <= x <= 7

6. Diketahui volume benda putar yang dibatasi fungsi f(x)= 2 - 2x dalam interval [-2,0]
   diputar mengelililngi sumbu-x sejauh 360⁰ ??

* SELAMAT MENGERJAKAN  *